毕业论文

打赏
当前位置: 毕业论文 > 数学论文 >

凸函数的性质及其应用

时间:2019-06-22 20:19来源:毕业论文
摘要 凸函数是数学中的一种重要函数,它广泛应用于竞赛数学、泛函分析、最优化理论、数理经济学等领域.由于数学分析教材中对凸函数的介绍较为零碎,为使大家对凸函数有一个较

摘要 凸函数是数学中的一种重要函数,它广泛应用于竞赛数学、泛函分析、最优化理论、数理经济学等领域.由于数学分析教材中对凸函数的介绍较为零碎,为使大家对凸函数有一个较全面的了解,本文将对凸函数的概念及其性质作详细介绍,并重点讲解其在证明不等式中的应用.以外,我们还将对凸函数做一个更深入的拓展,将我们所学的一元凸函数拓展到多元凸函数、平方凸函数、几何凸函数和调和凸函数等,并给出与之相应的定义及部分判定定理. 关键词 凸函数;性质;判定定理;不等式应用  在华东师范大学的数学分析教材中,我们介绍了函数的单调性与极值,这对函数性状的了解起到了很大的作用.为了更深入和精确地掌握函数的性状,我们将引入函数的凸性概念,即凸函数. 凸函数的基础是由Jenson于1906年左右建立的. 36555
下面,我们将详细讲解凸函数性质和应用. 首先我们来给出凸函数的几个基本概念.
  1 凸函数的基本定义[1] 定义1.1  设�是区间�上的函数,若对�上任意两点�1,�2和任意实数λ ∈ (0,1)总有  �(λ�1 + (1 − λ)�2) ≤ λ�(�1) + (1 − λ)�(�2),   (1) 则称�为�上的凸函数,反之,若有 �(λ�1 + (1 − λ)�2) ≥ λ�(�1) + (1 − λ)�(�2),   (2) 则称�为�上的凹函数. 如果(1)中 “≤”改为“<” ,则相应的函数称为严格凸函数(同理可定义严格凹函数) .由于凸函数与凹函数是对偶的概念,故有相对应的结论.今后,我们一般将只对凸函数进行讨论.   几何意义  设�1 < �2,因为λ ∈ (0,1),所以 � ≜ λ�1 + (1 − �)�2 < λ�2 + (1 − �)�2 = �2, � ≜ λ�1 + (1 − �)�2 > λ�1 + (1 − �)�1 = �1. 故� ∈ (�1,�2),且当λ从 0连续变化到1时,�也从�2连续变化到�1.我们连接曲线� =�(�),(� ∈ �)上两点 � .�1,�(�1)/  ,  �  .�2,�(�2)/ . 作弦AB,则AB的方程为 � − �(�2)�(�1) − �(�2)=� − �2�1 − �2  . 若将上式比值记为λ,则得弦AB的参数方程为: {  � = ��(�1) + (1 − �)�(�2),� = ��1 + (1 − �)�2  . 这表明,在点� = ��1 + (1 − �)�2处, 弦AB的高度为� = ��(�1) + (1 − �)�(�2).可见,不等式(1)说明在(�1,�2)内每点�处,曲线� = �(�)的高度不超过弦AB的高度.也就是说,曲线在弦AB以下,对曲线上任意两点A, B都是如此.因此,凸函数意味着函数图形向下凸,故又称之为下凸函数,而凹函数又称之为上凸函数. 论文网除此定义之外,还有其他形式的定义. 凸函数的性质及其应用:http://www./shuxue/20190622/35053.html
------分隔线----------------------------
推荐内容